看见统计(1)—— 基础概率论

看见统计(1)

在基本条件不变的情况下,一系列试验或观察会得到不同的结果。换句话说 ,就个别的试验的观察而言,它会时而出现这种结果,时而出现那种结果,呈现出一种偶然性,这种现象称为随机现象。对于随机现象通常关心的是在试验或观察中某个结果是否出现,这些结果称为随机事件,简称事件(event)

一个随机事件的概率是一个介于0与1之间的实数,这个实数的大小反映了这个事件发生的可能性。因此,概率为0意味着这个事件不可能发生(不可能事件),概率为1意味着这个事件必然发生(必然事件)。

期望

期望是概率(或密度)为权重的加权平均值。

E[X]=xXxP(x)E[X]=\sum_{x \in X}xP(x)

方差

方差是一个随机变量与它的期望之间的差的平方的加权平均值。

Var(X)=E[(XE[X])2]Var(X) = E[(X-E[X])^2]

浦丰问题

【投针问题】 平面上画着一些平行线,它们之间的距离都等于aa ,向此平面投一长度为l(l<a)l(l<a)的针,试求此针与任一平行线相交的概率。

【解】以xx表示针的中点到最近的一条平行线的距离,ϕ\phi表示针与平行线的交角。

显然有 0xa2,0ϕπ0\le x \le \frac{a}{2},0\le\phi\le\pi,以GG表示边长为欸a2\frac{a}{2}π\pi的长方形,为使针与平行线相交,必须xl2sinϕx\le\frac{l}{2}\sin\phi,满足这个关系式的区域记为gg,在下图中用阴影表示,所求概率为:vv

浦丰投针

p=gG=120πlsinϕdϕ12aπ=2lπa p = \frac{g的面积}{G的面积}=\frac{\frac{1}{2}\int_0^\pi l\sin\phi d\phi}{\frac{1}{2}a\pi}=\frac{2l}{\pi a}

投针NN次,计算针与线相交的次数nn,再以频率值nN\frac{n}{N}作为概率pp之值代入上式,求得

π=2lNan \pi = \frac{2lN}{an}

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